پایان نامه درباره دینامیکی

دانلود پایان نامه

نمای سه بعدی

مدل مورد مطاله تحت بارگذاریهای مختلف به شرح زیر مورد بررسی قرار می گردد:
1. تغییرات دمائی (به دلیل ضریب انبساط حرارتی متغیر در امتداد ضخامت میکروتیر FGM ، تغییرات دما ایجاد خیز می کند).
2. نیروهای الکترواستاتیکی ناشی ازاعمال ولتاژ.
فرض شده است که سطح بالایی از فلز خالص ولی سطح زیرین از مخلوطی از فلز و سرامیک تشکیل شده باشد. همچنین فرض شده است که درصد ماده سرامیک سطح پایینی از 0% تا 100% متغیر است. با ذکر این نکته که درجه بندی مواد فقط در جهت ضخامت تغییر میکند. اگر فرض کنیم که V_c و V_m کسرهای حجمی سرامیک و فلز ی باشند که تیر از آنها ساخته شده است، بدیهی است که:
(3-1)
V_m+V_c=1
که زیر نویسهای c و m به ترتیب برای سرامیک و فلز در نظر گرفته شده است. به منظور تعیین خواص فیزیکی سطح پایینی (P_b)، از قانون کسر حجمی مواد استفاده شده است [61]:
(3-2)
P_b=P_((z=h/2 ))=P_((z ̅=h))=V_c P_c+V_m P_m
با توجه به شکل (3-1) واضح است که:
(3-3)
z ̅=z+h/2
در نظر گرفتن توابع نمایی برای ارائه تغییرات پیوسته خصوصیات فیزیکی مواد در امتداد ضخامت میکروتیر (بین سطوح بالایی و پایینی) می تواند یک تقریب مناسبی برای حل معادلات الاستیسیته در مورد مواد FG باشد [61]:
(3-4)
E(z ̅ )=E_m e^(γz ̅ ) ; G(z ̅ )=G_m e^(μz ̅ ) ; α(z ̅ )=α_m e^(βz ̅ )
ρ(z ̅ )=ρ_m e^(ζz ̅ ) ; K(z ̅ )=K_m e^(λz ̅ ) ; l(z ̅ )=l_m e^(τz ̅ )
که E_m، G_m، α_m، ρ_m، K_mو l_m به ترتیب مدول یانگ، مدول برشی، ضریب پخش حرارتی، چگالی، ضریب هدایت حرارتی و طول مشخصه ی مولفه ی فلز تشکیل دهنده ی ماده ی تیر می باشند. پارامترهای γ، μ، β ، ζ ،λ و τ مربوط به مقدار نفوذ و پراکندگی سرامیک درون فلز می باشند که با استفاده از معادلات (3-1) و (3-2)، به صورت زیر بدست می آیند:
(3-5)
γ=1/h ln⁡(E_b/E_m ) ; μ=1/h ln⁡〖(G_b/G_m ) 〗 ; ζ=1/h ln⁡(( ρ_b)/( ρ_m ))
β=1/h l n⁡(α_b/α_m ) ; λ=1/h ln⁡(K_b/K_m ) ; τ=1/h ln⁡(l_b/l_m )
3-2 مدلسازی ریاضی و استخراج معادلات برای دستیابی به خیز تیر
3-2-1 معادله ی هدایت گرما
ابتدا به چند نکته مهم اشاره می شود. اولاً اینکه برای داشتن یک خیز بزرگ و محسوس، ضرایب انبساط حرارتی فلز و سرامیک باید اختلاف زیادی داشته باشند. دوماً، سطح پایین میکروتیر چون
می بایست به عنوان الکترود برای ایجاد فشار الکترواستاتیک باشد، باید رسانا باشد، بنابراین سطح پایین میکروتیر می تواند با یک لایه نازک طلایی در ضخامت نانو پوشانده شود. سوماً، به دلیل مقیاس بسیار کوچک سیستم، عدد بایوت83 (hL/K) متناظر مسئله حدود〖10〗^(-8 ) است، در نتیجه با تقریب بسیار خوبی می توان از گرادیان دمائی داخل جسم صرف نظر کرده و توزیع دما را در هر لحظه زمانی یکنواخت در نظر گرفت. چهارماً به خاطر تغییر شکلهای کوچک عرضی میکروتیر اینگونه فرض میشود که زاویه ی تشعشع بدون تغییر باقی بماند، در نتیجه شار گرما مستقل از تغییر شکل تیر در نظر گرفته میشود. در نهایت به خاطر ابعاد بسیار کوچک سیستم، هوای اطراف میکروتیر در شرایط کاملا محدود قرار دارد و می تواند به راحتی تحت گرادیان دمایی جریان یابد، بنابراین عدد ناسلت84 در جابجایی حرارتی آزاد بسیار کوچک می باشد، در نتیجه هدایت حرارتی تنها پدیده ی انتقال حرارتی است که بین میکروتیر و دیواره ی سنسور اتفاق می افتد. با این پیش زمینه ها، برای سیستم مورد مطالعه، معادله ی انتقال حرکت را اینگونه می توان نوشت:
(3-6)
(k_air A_b)/g_0 (T_b-T_air )=σF_(s-b) A_s (T_s^4-T_b^4)
جاییکه A_b و A_s سطوح مقطع انتقال حرارت مربوط به تیر و منبع میباشند. همچنین T_s ، T_b ، T_air ، g_0 ،k_air ، σ و F ̅_(s-b) به ترتیب معرف دمای منبع، دمای میکروتیر، دمای هوای اطراف، فاصله ی بین میکروتیر و الکترود ثابت، ضریب هدایت حرارتی هوا ، ثابت جهانی استفان-بلتزمن85و ضریب دید86 میباشند (زیرنویس s برای منبع و b برای تیر منظور شده است.). برای بدست آوردن مقدار ضریب دید رابطه ی زیر را داریم [63]:
(3-7)
F_(s-b)=(√(〖(Γ_s+Γ_b)〗^2+4)-√(〖(Γ_s-Γ_b)〗^2+4))/(2Γ_s ) ; Γ_s=L_s/d ̅ , Γ_b=L_b/d ̅
در رابطه ی بالا L_sو L_b طول منبع گرم و طول تیر می باشند و d ̅ فاصله ی بین منبع و میکروتیر. فرض شده است که: L_s=L_b بنابرین رابطه ی (3-7) به فرم زیر اصلاح می شود:
(3-8)
F_(s-b)= (√((L_s/d ̅ )^2+1)-1)/(L_s/d ̅ )
3-2-2 فرمولاسیون معادلات میکروتیر FGM بر پایه ی MCST
وقتی که بررسی ما به تاثیرات درجه حرارت و همچنین نیروهای مکانیکی روی رفتار الاستیک اجسام معطوف می شود، با بحث ترموالاستیسته سروکار خاهیم داشت. در اینجا فقط نظریه ی
غیر کوپل ساده را در نظر میگیریم. بنابرین کرنش کل مجموع دو کرنش مکانیکی (ε_ij^((M) )) و کرنش حرارتی (ε_ij^((T) )) خواهد بود [64]:
(3-9)
ε_ij=ε_ij^((M) )+ε_ij^((T) )
اگر T_air درجه حرارت مرجع (محیط)و T به عنوان درجه حرارت هر نقطه از تیر در نظر گرفته شود، کرنش حرارتی به صورت زیر نوشته می شود[64]:
(3-10)
ε_ij^((T) )=α(T-T_air)δ_ij
همچنین کرنش مکانیکی به صورت زیر ارائه می شود[64]:
(3-11)
ε_ij^((M) )=(1+ν)/E σ_ij-ν/E σ_kk δ_ij
با استفاده از روابط اخیر معادله ی تنش بر حسب کرنش به شکل زیر ظاهر می شود[64]:
(3-12)
σ_ij=λ_1 ε_kk δ_ij+2λ_2 ε_ij-(3λ_1+2λ_2 )α (T-T_air)δ_ij
که پارامترهای λ_1 و λ_2 ضرایب ثابت لامه87 میباشند.
(13-3)
λ_1=Eν/((1+ν)(1-2ν)) 〖 ; λ〗_2 =E/(2(1+ν))
مولفه ای تانسور کرنش در ترمهای بردار جابجایی به صورت زیر است:
(3-14)
ε_ij=1/2 (u_(i,j)+u_(j,i) )
چندین تئوری برای توصیف رفتار تیرها وجود دارد. مشهورترین تئوری به تئوری تیر اویلر- برنولی (تئوری کلاسیک) شهرت دارد که در آن صفحات صاف عمود
بر محور مرکزی تیر بعد از خمش همچنان عمود بر محور مرکزی باقی می مانند. با توجه با اینکه نسبت h/L به اندازه ی کافی کوچک است، می توان از اثرات تغییر شکل برشی صرف نظر کرد. با در نظر شکل (3-1) زاویه ی چرخش بر مبنای تئوری کلاسیک به صورت زیر تعریف می شود:
(3-15)
ϕ≈(∂w(x,t))/∂x
u_0 میزان کشیدگی یا جابجایی صفحه میانی در جهت x است و u کشش یا تغییر طول کلی هر لایه از تیر در فاصله z در راستای x است. v و w نیز به ترتیب دیگر مولفه های بردار جابجایی در جهات محورهای y و z میباشند. با این اوصاف می توان نوشت:
(3-16)
u=u_0-z ∂w/∂x , v=0 , w=w(x,t)
کرنش در جهت محور x در ترم جابجایی به صورت زیر است:
(3-17)
ε_xx=∂u/∂x
با جاگذاری رابطه ی (3-16) در رابطه ی (3-17)، تنش در جهت x فرم زیر را به خود می گیرد:
(3-18)
σ_xx=E ̅(ε_xx-α ̅θ_T )=E ̅((∂u_0)/∂x-z (∂^2 w)/(∂x^2 )-α ̅θ)
که در این رابطه θ=T-T_air تغییرات دمایی است و نسبت به دمای محیط اندازه گیری می شود. برای شرایط تنش صفحه ای E ̅ و α ̅ برابرند با E و α [64]. با توجه به سر آزاد تیر برآیند نیروهای محوری در جهت x صفر است:
(3-19)
∫_A^ ▒〖σ_xx dA=0〗
رابطه ی (3-19) به رابطه ی زیر منتج می شود:
(3-20)
(∂u_0)/∂x=B ̅/A ̅ (∂^2 w)/(∂x^2 )+1/A ̅ F_T
که پارامترهای ظاهر شده در این رابطه برابرند با:
(3-21)
A ̅=∫_(-h/2)^(h/2)▒〖e^γ(z+h/2) dz〗 ; B ̅=∫_(-h/2)^(h/2)▒〖〖ze〗^γ(z+h/2) dz〗 ; F_T=∫_(-h/2)^(+h/2)▒〖α_m θ(z)e^(z+h/2)(γ+β) dz〗
برای ارضای شرایط تعادل ممانی بر اساس تئوری اصلاح شده ی کوپل تنش، علاوه بر ممان مربوط به تانسور تنش کلاسیک، ممان مربوط به مولفه های تانسور تنش کوپل نیز می بایست در نظر گرفته شود. بنابراین ممان خمشی در یک مقطع خاص برابر میشود با:
(3-22)
M=M_σ+M_m=∫_A^ ▒〖σ_ii zdA+〗 ∫_A^ ▒〖μ_ij dA〗
پارامترهای M_σ و M_m به ترتیب مولفه های ممان خمشی مربوط به تانسور تنش کلاسیک و تانسور تنش کوپل میباشند. همچنین μ_ij و m_ij به ترتیب تانسور تنش کوپل و بخش انحرافی تانسور تنش کوپل می باشند [33]:
(3-23)
μ_ij=μ_s δ_ij+m_ij ; μ_s=1/3 μ_ii ; □(⇒┴( i≠j ) ) μ_ij=m_ij
(3-24)
m_ij=2Gl^2 χ_ij
به طوریکه l پارامتر طول مشخصه ماده و χ_ij تانسور متقارن انحنا می باشد. تانسور متقارن انحنا به صورت زیر تعریف میشود [38]:
(3-25)
χ_ij=1/2 (θ_(i,j)+θ_(j,i) )
همچنین ارتباط بین مولفه های بردار چرخش و بردارهای جابجایی این چنین است [38]:
(3-26)
θ_i=1/2 curl〖(u)〗_i
در نهایت با توجه به روابط (3-15) تا (3-17) نتیجه می دهد:
(3-27)
θ_y=-∂w(x,t)/∂x ; θ_x=θ_z=0
جاگذاری رابطه ی (3-27) در (3-25) مولفه های تانسور متقارن انحنا به این صورت حاصل می شوند:
(3-28)
χ_xy=-1/2 (∂^2 w(x,t))/〖∂x〗^2 ; χ_xx=χ_yy=χ_zz=χ_xz=χ_yz=0
و با جاگذاری رابطه ی (3-28) در (3-24) داریم تانسور تنش کوپل بدست می آید:
(3-29)
m_xy=-G(z) l^2 (z)((∂^2 w(x,t))/(∂x^2 )); m_xx=m_yy=m_zz=m_yz=m_zx=0
مطابق MCST، مقدار انرژی کرنشی در یک ماده ی ایزوتروپیک الاستیک خطی که ناحیه ی Ω را اشغال کرده است به صورت زیر نوشت می شود [38]:
(3-30)
U_m=1/2 ∮_Ω^ ▒〖〖〖(σ〗_ij ε〗_ij+m_ij χ_ij)〗 dΩ
با جاگذاری روابط (3-17) و (3-18) و (3-28) و (3-29) در رابطه ی شماره ی (3-30) داریم:
U_m=1/2 ∫_0^L▒〖∫_(-h/2)^(h/2)▒{E(z)((∂u_0)/∂x-z (∂^2 w)/(∂x^2 )-αθ)((∂u_0)/∂x-z (∂^2 w)/(∂x^2 ))-G(z) l^2 (z)((∂^2 w)/(∂x^2 ))} bdzdx〗
(3-31)

این مطلب مشابه را هم بخوانید :   مقاله درموردافساد فی الارض، مجازات اعدام، فرهنگ فارسی، امام صادق

=1/2 ∫_0^L▒〖((EI)_eq+(GAl^2 )_eq ) ((∂^2 w)/(∂x^2 ))^2 dx〗+1/2 ∫_0^L▒〖M_T ((∂^2 w)/(∂x^2 ))dx〗
زیر نویس (eq)، دلالت دارد بر ” معادل88 ” . 〖(EI)〗_eq به عنوان سفتی معادل و 〖(GAl^2)〗_eq سفتی افزوده شده ی معادل-که به خاطر در نظر گرفتن تنشهای کوپلی است- و M_T (ممان حرارتی) از روابط زیر بدست خواهند آمد:
(3-32)
(EI)_eq=∫_A^ ▒{((∫_A^ ▒zE(z)dA)/(∫_A^ ▒E(z)dA))E(z)[-2z+((∫_A^ ▒zE(z)dA)/(∫_A^ ▒E(z)dA))]+z^2 E(z)}dA
(3-33)
(GAl^2 )_eq=∫_A^ ▒〖G(z) (l(z))^2 dA〗
(3-34)
M_T=b∫_(-h/2)^(h/2)▒{E(z)F_T [B ̅/A ̅^2 -1/A ̅ z]+E(z)α(z)θ[z-((∫_A^ ▒zE(z)dA)/(∫_A^ ▒E(z)dA))]} dz
از آنجا که میکروتیر در معرض ولتاژ DC قرار گرفته است، نیروی الکترواستاتیکی که به صورت گسترده به تیر اثر می کند برابر است با:
(3-35)
F(w,V)=(ε_0 bV^2)/(2〖(g_0-w)〗^2 )
که در این رابطه ε_0 ضریب دی الکتریک هوا89، V ولتاژ اعمال شده و w تغییر مکان میکروتیر است که به سمت پایین مثبت در نظر گرفته می شود. زمانیکه نیروی الکتروستاتیک باعث ایجاد تغییر شکل در میکروتیر میشود، انرژی الکتریکی بین دو الکترود ذخیره می شود:
(3-36)
U_ec=1/2 ∫_0^L▒〖(ε_0 bV^2)/((g_0-w)) dx〗
با صرف نظر از چرخش، انرژی جنبشی ناشی از ارتعاش تیر FGM از این رابطه قابل محاسبه است:
(3-37)
T(t)=1/2 ∫_0^L▒〖(ρA)_eq [∂w(x,t)/∂t]^2 dx〗
که در این رابطه پارامتر (ρA)_eq به سادگی قابل محاسبه است:
(3-38)
(ρA)_eq=∫_A^ ▒〖ρ_m e^(ζz ̅ ) dA〗
نهایتا با استفاده از اصل همیلتون ( δ∫_(t_1)^(t_2)▒〖(T-U_m-U_ec )dt=0〗 )، معادله ی حرکت یک میکروتیر خازنی (با در نظر گرفتن اثر کوپل تنش) بدست خواهد آمد:
(3-39)
{〖(EI)〗_eq+〖(GAl^2)〗_eq } (∂^4 w(x,t))/(∂x^4 )+(ρA)_eq (∂^2 w(x,t))/(∂t^2 )= (ε_0 bV^2)/(2〖(g_0-w(x,t))〗^2 )
برای بی بعد سازی رابطه ی (3-39)، پارامترهای زیر ارائه میشوند:
(3-40)
w ̂=w/g_0 ; t ̂=t/t^* ; x ̂=x/L ; t^*=√(((ρA)_eq L^4)/{(EI)_eq+(GAl^2 )_eq } )
با استفاده از پارامترهای بی بعد ارائه شده توسط رابطه ی (3-40)، معادله های بی بعد حاکم بر تغییر شکل استاتیکی و دینامیکی به شکل زیر در می آیند:
معادله ی بی بعد استاتیکی
(3-41)
(d^4 w ̂)/(dx ̂^4 )=D V^2/〖(1-w ̂)〗^2
معادله ی بی بعد دینامیکی
(3-42)
(∂^4 w ̂)/(∂x ̂^4 )+(∂^2 w ̂)/(∂t ̂^2 )=D V^2/〖(1-w ̂)〗^2
که در این روابط پارامتر بی بعد D اینگونه تعریف می شود:
(3-43)
D=(ε_0 bL^4)/(2g_0 {〖(EI)〗_eq+〖(GAl^2)〗_eq } )
شرایط مرزی برای تیر خازنی یک سر گیر دار FGM با در نظر گرفتن
پارامتر طول مشخصه ی ماده که در معرض ممان حرارتی قرار گرفته است:
(3-44)
w(x ̂=0,t ̂ )=0 ; ∂w(x ̂=0,t ̂ )/(∂x ̂ )=0
(∂^2 w(x ̂=1,t ̂))/(∂x ̂^2 )=(M_T L^2)/(2g_0 (〖(EI)〗_eq+〖(GAl^2)〗_eq ) ) ; (∂^3 w(x ̂=1,t ̂))/(∂x ̂^3 )=0
روابط زیر برای درک بهتر شرط مرزی مربوط به ممان در سر آزاد تیر ارائه شده اند:
(3-45)
M(x)=M_σ+M_m=∫_A^ ▒〖σ_ii zdA〗+∫_A^ ▒〖m_ij dA〗
M(x)=∫_A^ ▒E((∂u_0)/∂x-z (∂^2 w)/(∂x^2 )-αθ)zdA+∫_A^ ▒〖-G(z) l^2 (z)((∂^2 w)/(∂x^2 ))dA〗
-{〖(EI)〗_eq+〖(GAl^2)〗_eq } (∂^2 w)/(∂x^2 )=M(x)-M_T

فصل چهارم
روشهای حل معادلات تحت بارگذاریهای مختلف
4-1 معادله ی استاتیکی
4-1-1 اثر ولتاژ
تغییر مکان استاتیکی یک میکرو تیر FGM که به وسیله ی نیروی الکتروستاتیکی بارگذاری شده است از طریق حل معادله ی انتگرو-دیفرانسیلی (3-41) بدست می آید. با توجه به غیرخطی بودن ماهیت معادله (3-39) حل آن بسیار پیچیده و وقت گیر می باشد. به همین منظور کوشش شده تا با خطی سازی معادله مذکور این مشکل برطرف شود. از آنجائیکه خیز تیر(w) در مقایسه با فاصله تیر و صفحه صلب (g_0-w) به اندازه کافی بزرگ است، مخصوصاً برای زمانهایی که ولتاژ اعمالی مقادیر بزرگی دارد، خطی سازی معادله نسبت به موقعیت اولیه تیر باعث ایجاد خطاهای قابل ملاحظه ای
می شود. بنابراین برای کاهش خطا، اعمال گام به گام ولتاژ توسط روشی به نام خطی سازی گام به گام (90SSLM) برای کمینه کردن این خطاها پیشنهاد می شود. مطابق این روش، معادله در هر مرحله نسبت به مرحله قبل خطی شده و در نهایت یک معادله خطی بر حسب اختلاف خیز دو مرحله متوالی (δw) بدست آمده و در نهایت با استفاده از روش گلرکین حل می گردد.
فرض کنید V_i به ترتیب ولتاژ اعمالی به سیستم در گام iام باشند که باعث ایجاد خیز میکروتیر w_i (x) می شود. با افزایش ولتاژ اعمالی داریم:
(4-1)
V_(i+1)=V_i+δV□(⇒┴( ) ) w ̂_s^(i+1)=w ̂_s^i+δw=w ̂_s^i+ψ(x ̂ ) i=1,2,…,N
با توجه به رابطه ی (3-41)، بر اساس تئوری حساب تغییرات91 و با استفاده از بسط سری تیلور92 حول 〖w ̂^i〗_s همچنین با صرف نظر از جملات مرتبه بالاتر، روابط زیر بدست می آیند:
(4-2)
(d^4

دیدگاهتان را بنویسید